LES介绍的文章的一个公式
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@李东岳 李博好，最近浏览您的CFD中的LES湍流模型一文。发现您的Smagorinsky模型(公式18)中注释的内容 $\frac{1}{2}\tau_{ii}\delta_{ij}$经常和压力$p$结合在一起形成过滤压力 这段话，是不是应该是$\frac{2}{3}k_{SGS}\delta{ij}$与压力$p$结合在一起？$\frac{1}{3}\tau{ij}$按照Smagorinsky的假设$\tau_{ij}-\frac{1}{3}\tau_{ii}\delta{ij}=-\mu_{SGS}\overline{S_{ij}}$应该合并到了过滤速度的剪切变形律里面了吧。
后面的Smagorinsky亚格子模型，文献中给出的那个模型也是通过局部平衡假设得到的，也就是
\begin{equation}
\overline{\mathbf{S}}:\mathbf{\tau}+C_{e}\frac{k_{sgs}^{1.5}}{\Delta}=0
\end{equation}
这一公式跟OpenFOAM中的源代码也完全一致:angry:volSymmTensorField D(symm(gradU)); volScalarField a(this->Ce_/this->delta()); volScalarField b((2.0/3.0)*tr(D)); volScalarField c(2*Ck_*this->delta()*(dev(D) && D)); return tmp<volScalarField> ( new volScalarField ( IOobject ( IOobject::groupName("k", this->U_.group()), this->runTime_.timeName(), this->mesh_ ), sqr((-b + sqrt(sqr(b) + 4*a*c))/(2*a)) ) );我看到您贴的一个$k_{SGS}=2\frac{C_{k}}{C_{e}}\Delta^{2}\overline{S_{ij}^{2}}$，不知道这个有没有相关出处？
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嗯，下面是我推的
\begin{equation}
\overline{\mathbf{S}}:\mathbf{\tau}+C_{e}\frac{k_{sgs}^{1.5}}{\Delta}=0 \
left = \overline{\mathbf{S}}:[\frac{2}{3}k_{sgs}\mathbf{I}-2\mu_{sgs}\mathbf{dev}(\overline{\mathbf{S}})]+k_{sgs}^{1.5}\frac{C_{\epsilon}}{\Delta}
\end{equation}
因为
\begin{equation}
\mu_{sgs}=C_{k}\Delta\sqrt{k_{sgs}} \
left = \overline{\mathbf{S}}:[\frac{2}{3}k_{sgs}\mathbf{I}-2C_{k}\Delta\sqrt{k_{sgs}}]+k_{sgs}^{1.5}\frac{C_{\epsilon}}{\Delta} \
= \sqrt{k_{sgs}}(\frac{C_{\epsilon}}{\Delta}k_{sgs}+\frac{2}{3}\mathbf{tr}(\overline{\mathbf{S}})\sqrt{k_{sgs}}-2C_{k}(\mathbf{dev}(\overline{\mathbf{S}}):\overline{\mathbf{S}})) \
= ak_{sgs}+b\sqrt{k_{sgs}}-c\
= right = 0
\end{equation}
其中
\begin{equation}
a=\frac{C_{\epsilon}}{\Delta} \
b=\frac{2}{3}tr(\overline{\mathbf{S}}) \
c=2C_{k}(\mathbf{dev}(\overline{\mathbf{S}}):\overline{\mathbf{S}} \
\sqrt{k_{sgs}}=\frac{-b+\sqrt{b^2+4ac}}{2a}
\end{equation}
当为不可压缩流体时$tr{\overline{\mathbf{S}}}=0$,那么$b=0$、$c=2C_{k}(\overline{\mathbf{S}}:\overline{\mathbf{S}})$,就可以得到$k_{sgs}=\frac{c}{a}=\frac{2C_{k}||\overline{\mathbf{S}}||^{2}{}\Delta}{C_{\epsilon}}$ -
@东岳 东岳老师，有个小问题咨询一下。就是
\begin{equation}
\nu_{\mathrm{SGS}}=\rho\left(C_{\mathrm{SGS}} \Delta \right)^2 \sqrt{\frac{1}{2}(\nabla\bar{\bfU}+\nabla\bar{\bfU}^{\mathrm{T}}):(\nabla\bar{\bfU}+\nabla\bar{\bfU}^{\mathrm{T}})}
\label{lilly}
\end{equation}
中的应变率张量数值格式在使用投影法计算时应该为显式吧？ -
@winsway_zero 肯定是显性
我最近在想为什么不直接植入这个更简单的Smagorinsky方程：
\begin{equation}
\nu_t=(C_s\Delta)^2\sqrt{\mathbf{D}:\mathbf{D}}
\end{equation} -
@一二 在 LES介绍的文章的一个公式 中说：
嗯，下面是我推的
\begin{equation}
\overline{\mathbf{S}}:\mathbf{\tau}+C_{e}\frac{k_{sgs}^{1.5}}{\Delta}=0 \
left = \overline{\mathbf{S}}:[\frac{2}{3}k_{sgs}\mathbf{I}-2\mu_{sgs}\mathbf{dev}(\overline{\mathbf{S}})]+k_{sgs}^{1.5}\frac{C_{\epsilon}}{\Delta}
\end{equation}
因为
\begin{equation}
\mu_{sgs}=C_{k}\Delta\sqrt{k_{sgs}} \
= \overline{\mathbf{S}}:[\frac{2}{3}k_{sgs}\mathbf{I}-2C_{k}\Delta\sqrt{k_{sgs}}]+k_{sgs}^{1.5}\frac{C_{\epsilon}}{\Delta} \
= \sqrt{k_{sgs}}(\frac{C_{\epsilon}}{\Delta}k_{sgs}+\frac{2}{3}\mathbf{tr}(\overline{\mathbf{S}})\sqrt{k_{sgs}}-2C_{k}(\mathbf{dev}(\overline{\mathbf{S}}):\overline{\mathbf{S}})) \
= ak_{sgs}+b\sqrt{k_{sgs}}-c\
= right = 0
\end{equation}
其中
\begin{equation}
a=\frac{C_{\epsilon}}{\Delta} \
b=\frac{2}{3}tr(\overline{\mathbf{S}}) \
c=2 \Delta C_{k}(\mathbf{dev}(\overline{\mathbf{S}}):\overline{\mathbf{S}} \
\sqrt{k_{sgs}}=\frac{-b+\sqrt{b^2+4ac}}{2a}
\end{equation}
当为不可压缩流体时$tr{\overline{\mathbf{S}}}=0$,那么$b=0$、$c=2 \Delta C_{k} (\mathbf{dev}(\overline{\mathbf{S}}):\overline{\mathbf{S}})$,就可以得到$k_{sgs}=\frac{c}{a}=\frac{2C_{k}||\overline{\mathbf{S}}||^{2}{}\Delta^2}{C_{\epsilon}}$
