变比热容计算

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理想气体比热容是温度的函数，
那么有个问题：
已知总温总压 马赫数 怎么求得静温静压？
望解答

[李东岳]

比如压力这个，你需要知道速度，然后从方程倒推出来。链接文本

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李老师@李东岳
根据我的推导，对于可压缩理想气体 应该满足如下的关系，但是从公式看出 这是要迭代求解的 ，推导是否正确
\par$\bullet$求解静温(已知总温和马赫数)
\begin{equation}\label{equ:NSUs}
U_s^2=2\left(h_t(T_{tot})-h_t(T_{sta})\right)=2\left(C_p(T_{tot})T_{tot}-C_p(T_{sta})T_{sta}\right)
\end{equation}
\begin{equation}\label{equ:NSmach}
Mach^2=\frac{U^2}{\gamma(T)R_gT}=\frac{U^2}{\frac{C_p(T)}{C_p(T)-R_g}R_gT}
\end{equation}
\par由(\ref{equ:NSmach})和(\ref{equ:NSUs})得
\begin{equation}\label{equ:NSTsta}
T_{sta}=\frac{C_p(T_{tot})T_{tot}}{C_p(T_{sta})\left(1+\frac{1}{2}Mach^2\frac{R_g}{C_p(T_{sta})-R_g}\right)}
\end{equation}
\par$\bullet$求解静压(已知总温、总压和静温)
\par由(\ref{equ:NSdsds})得,等熵过程
\begin{equation}
ds = C_p(T)\frac{dT}{T} -R_g\frac{d p}{p}=0
\end{equation}
\par两边同时积分有
\begin{equation}
\int_{T_{tot}}^{T_{sta}}C_p(T)\frac{dT}{T} =\int_{p_{tot}}^{p_{sta}} R_g\frac{d p}{p}
\end{equation}
\par记
\begin{equation}
S(T_{x})=\int_{T_{x}}^{T_{0}}C_p(T)\frac{dT}{T}
\end{equation}
\par则
\begin{equation}
S(T_{sta}) - S(T_{tot}) = R_g\ln\frac{p_{sta}}{p_{tot}}
\end{equation}
\par那么
\begin{equation}\label{equ:NS_psta}
p_{sta}=p_{tot}e^{\left(\frac{S(T_{sta})-S(T_{tot})}{R_g}\right)}
\end{equation}

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之前有点问题，最终如下
\par $C_p$采用4次多项式分段拟合
\begin{equation}\label{equ:NS_Cp}
C_p(T)=a_1+a_2T+a_3T^2+a_4T^3+a_5T^4
\end{equation}
\par静焓
\begin{equation}\label{equ:NS_H}
H(T)=\int_{T_{0}}^{T_{x}}C_p(T)dT=a_1T+\frac{a_2}{2}T^2+\frac{a_3}{3}T^3+\frac{a_4}{4}T^4+\frac{a_5}{5}T^5+a_6
\end{equation}
\par熵
\begin{equation}\label{equ:NS_S}
S(T)=\int_{T_{0}}^{T_{x}}C_p(T)\frac{dT}{T}=a_1\ln{T}+a_2T+\frac{a_3}{2}T^2+\frac{a_4}{3}T^3+\frac{a_5}{4}T^4+a_7
\end{equation}
\par$\bullet$求解静温(已知总温和马赫数)
\begin{equation}\label{equNSUs}
U_s^2=2\left(H(T_{tot})-H(T_{sta})\right)
\end{equation}
\begin{equation}\label{equNSmach}
Mach^2=\frac{U^2}{\gamma(T)R_gT}=\frac{U^2}{\frac{C_p(T)}{C_p(T)-R_g}R_gT}
\end{equation}
\par由(\ref{equ:NSmach})和(\ref{equ:NSUs})得
\begin{equation}\label{equNSTsta}
T_{sta}=\frac{2\left(H(T_{tot})-H(T_{sta})\right)}{Mach^2\frac{C_p(T_{sta})R_g}{C_p(T_{sta})-R_g}}
\end{equation}
$\bullet$求解静压(已知总温、总压和静温)
\par由p等熵过程
\begin{equation}
ds = C_p(T)\frac{dT}{T} -R_g\frac{d p}{p}=0
\end{equation}
\par两边同时积分有
\begin{equation}
\int_{T_{tot}}^{T_{sta}}C_p(T)\frac{dT}{T} =\int_{p_{tot}}^{p_{sta}} R_g\frac{d p}{p}
\end{equation}
\par记
\begin{equation}
S(T_{x})=\int_{T_{0}}^{T_{x}}C_p(T)\frac{dT}{T}
\end{equation}
\par则
\begin{equation}
S(T_{sta}) - S(T_{tot}) = R_g\ln\frac{p_{sta}}{p_{tot}}
\end{equation}
\par那么
\begin{equation}\label{equNS_psta}
p_{sta}=p_{tot}e^{\left(\frac{S(T_{sta})-S(T_{tot})}{R_g}\right)}
\end{equation}